Propiedades de la distribución normal

Algunas propiedades de la distribución normal son:

• Es simétrica respecto de su media, μ;

• La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;

•  Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.

•  Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

• En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;

•  En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;

•  Por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución.

•  Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.

•  Si X ~ N(μ, σ2) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a2σ2).

•  Si X ~ N(μx, σx2) e Y ~ N(μy, σy2) son variables aleatorias normales independientes, entonces:

•  Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μx + μy, σx2 + σy2) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).

•  Su diferencia está normalmente distribuida con

.

•  Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí. 

• La divergencia de Kullback-Leibler,    

• Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:

• Su producto sigue una distribución con densidad dada por

• donde es una función de Bessel modificada de segundo tipo.

• Su cociente sigue una distribución de Cauchy con . De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente.

• Si son variables normales estándar independientes, entonces sigue una distribución χ² con n grados de libertad. 

• Si son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).